BOJ #13171 A

 

문제

음이 아닌 두 정수 A, X 가 있을 때 AX을 구하는 방법을 생각해보자. 물론 이 수는 매우 클 수 있기에, 1,000,000,007 (= 109 + 7)로 나눈 나머지를 구할 것이다. a mod x를 a를 x로 나눴을 때의 나머지라고 표현하면,

(a × b) mod x = {(a mod x) × (b mod x)} mod x

가 성립하기 때문에, 어떤 두 정수를 1,000,000,007로 나눈 나머지만 알고 있어도 그 두 정수의 곱을 1,000,000,007로 나눈 나머지를 쉽게 계산할 수 있다.

본 문제로 돌아가서, 그렇다면 이제 A를 X 번 곱하면 AX을 쉽게 구할 수 있을 것 같아 보인다. 그러나 안타깝게도 X가 상당히 커서 64비트 정수의 범위에 있다면 A를 하나하나씩 곱하는 방식으로는 상상할 수 없을 정도로 긴 시간이 흘러야 답을 찾을 수 있을 것이다. 그래서 다음과 같이 곱셈의 횟수를 줄이는 방법을 사용한다.

1. 먼저 A1, A2, A4, A8, ...을 순서대로 계산한다. 각 수는 이전에 있는 수를 제곱함으로써 계산할 수 있고, 지수가 X 를 딱 넘지 않을 시점까지만 계산하면 충분할 것이다. X가 64비트 정수의 범위에 있으므로 계산하는 수는 64개보다 작을 것이다.
2. 이제 X 를 이진수로 나타내 보자. 예를 들어 X를 11로 두면, X = 11 = 1 + 2 + 8이다. 그런데 지수법칙에 의해, A11 = A1+2+8 = A1 × A2 × A8이 성립한다. 이를 통해 1번 단계에서 미리 계산해 놓았던 수 몇 개만 곱해서 AX 을 계산할 수 있음을 알 수 있다.

즉, 차례로 A를 곱해 나간다면 시간이 X에 비례하게 걸리겠지만, 위의 방법을 이용하면 시간이 log(X)에 비례하게 걸리게 된다. AX를 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

첫 번째 줄에는 정수 A(1 ≤ A ≤ 1018)이 주어진다.

두 번째 줄에는 정수 X(1 ≤ X ≤ 1018)가 주어진다.

출력

AX을 출력한다. 이 수는 매우 커질 수 있으므로 1,000,000,007로 나눈 나머지를 출력해야 한다.

 

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소스코드(C언어)

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h> 

long long X2[100] = { 0 };
long long Amod[100] = { 0 }; 

int main() {
	long long A, X;
	scanf("%lld %lld", &A, &X);
	long long tmp = 1000000007;

	int idx = 0;
	//X를 이진수로 바꾸기
	while (X > 0) {
		X2[idx++] = X % 2;
		X /= 2;
	}
	idx--;

	//A^(2^idx)까지 구하기
	Amod[0] = A % tmp;
	for (int i = 1; i <= idx; i++) {
		Amod[i] = (Amod[i - 1] * Amod[i - 1]) % tmp;
	}

	long long mod = 1;
	for (int i = 0; i <= idx; i++) {
		if (X2[i]) {
			mod *= Amod[i];
			mod %= tmp;
		}
	}

	printf("%lld\n", mod);
}

 

 

Idea

X를 이진수로 바꾸어 값이 1인 자리(i번째)만 A^2^i를 곱한다.